Hola,
En tu caso es de aplicación la LEY 5/2002, de 23 de mayo, de Protección de los Animales en la Comunidad Autónoma de Extremadura y en su caso la ordenanza reguladora que pueda existir en tu localidad relacionada con estos temas (en algunas localidades está dentro de la ordenanza reguladora de Medio Ambiene, en otras en una específica sobre tenencia de animales, en cualquier otra o simplemente no estar regulado).
En la Ley de Extremadura, a diferencia de otras Comunidades Autónomas, el tema de la presencia de animales en lugares públicos está muy poco desarrollado y la única mención que se hace al respecto la podemos encontrar en el artículo Artículo 18. Espacios de paseo y esparcimiento.
Los Ayuntamientos podrán habilitar en los jardines y parques públicos espacios idóneos, debidamente señalizados, para el paseo y esparcimiento de los perros.
Tal y como está redactado, y puesto que en el resto de la Ley no se indica que los perros no pueden entrar en parques y jardines públicos, yo entiendo que está permitido que los perros puedan entrar en un parque y que en su caso, si el Ayuntamiento así lo decide puede habilitar un espacio específico para los animales domésticos.
No obstante, y puesto que no la Ley no indica nada al respecto, deja vía libre a que la ordenanza local pueda prohibir la entrada de perros a los parques y jardines de la localidad, en cuyo caso, no podrías exigir nada. En el lado contrario, si no hay ninguna ordenanza que prohíba la entrada de animales domésticos a parques y jardines, bajo mi punto de vista perfectamente podrías exigir poder entrar en el parque que nos comentas, al menos hasta que publiquen una ordenanza que lo prohíba.
En otras comunidades la ley es un poco más favorable para este tipo de circunstancias, y en algunas incluso se exige que los Ayuntamientos dispongan espacios habilitados de forma específica para el esparcimiento de las mascotas.
En Madrid, por ejemplo a determinadas horas estas obligado a llevar a tu perro con la correa y bozal en su caso, pero a partir de determinadas horas, el perro puede incluso ir suelto.
Espero haberte podido ayudar.
Saludos,
Mariano